问题背景

现在我的研究问题是 维修零部件 选址-库存 联合优化的柔性供应链设计，即我希望实现一个多源供货策略方案而非单源供货的柔性供应链。我的需求是没办法直接计算的，我只能通过生存分析去预测每个部件故障的概率，但我们只考虑在决策期一个需求点最多产生一次需求。而管理者提供了所有候选仓库的租金固定成本数据，给出了每一个仓库的仓储成本数据，给出了每一个仓库发货到每一个需求点的运费，给出了如果缺货需要从中心仓额外调货的高昂运费。管理者希望能给出最佳的仓库选址决策，以及每个仓库的库存决策。

传统建模视角 - 两阶段随机规划模型

这种问题在传统的建模视角下，我们通常采样两阶段随机规划模型的范式构建模型，具体如下：

目标函数 (Objective Function)

约束条件 (Constraints)

1. 库存能力逻辑约束 (Linking Constraint)

2. 供给侧流平衡约束 (Supply Balance Constraint)

3. 需求侧流平衡约束 (Demand Satisfaction Constraint)

4. 变量非负与二值约束 (Variable Domains)

2. 符号与公式详解 (Detailed Explanation)

集合与索引 (Sets & Indices)

  • : 候选仓库集合（索引 ）。
  • : 需求点/设备集合（索引 ）。
  • : 场景集合（索引 ），代表不确定性的具体展开（如“沿海故障”、“风平浪静”等）。

参数 (Parameters) - 已知常量

  • : 在地点 建立仓库的固定成本。
  • : 场景 发生的概率。
  • : 单位运输成本（从仓库 到设备 ）。
  • : 单位库存持有成本（期末未使用的备件）。
  • : 单位缺货惩罚成本（通常 ）。
  • : 关键不确定性参数。在场景 下，设备 的具体需求量（0或1）。
  • : 大M，用于逻辑控制的一个足够大的正数。

决策变量 (Decision Variables)

  • 第一阶段 (Here and Now):
    • : 二进制变量。1表示在 建仓，0表示不建。
    • : 预先储备的库存量（在故障发生前决定）。
  • 第二阶段 (Wait and See):
    • : 场景 下，从仓库 运往设备 的数量。
    • : 场景 下，仓库 的剩余库存量。
    • : 场景 下，设备 的缺货量。

公式含义解析

1. 目标函数

  • 公式结构: 最小化 = (确定性固定成本) + (期望运营成本)
  • 含义: 我们要最小化建仓的“死钱”，加上考虑到未来所有可能情况（场景 ）后的平均运营成本。
  • 期望部分: 包含三项——把货运出去的钱、货剩在手里的保管费、货不够时的惩罚费。

2. 库存能力逻辑约束

  • 公式:
  • 含义: 只有建了仓 ()，才能存放库存 ()。如果 ，则 被强制压为0。这是连接“选址”与“库存”的关键逻辑。

3. 供给侧流平衡约束

  • 公式: 运出量 + 剩余量 = 初始储备量
  • 含义: 对于任何一个仓库，在任何一个场景下，你的初始库存 要么被运走了 ()，要么剩下了 ()，不能凭空消失或增加。这也隐含了物理限制：运出的货不能超过现有库存。

4. 需求侧流平衡约束

  • 公式: 收到量 + 缺货量 = 实际需求
  • 含义: 对于任何一个设备，在任何一个场景下，实际需求 必须被“填平”。要么通过运输 () 满足，要么记录为缺货 () 并支付高额罚款。这迫使模型在“多备货”和“承担缺货风险”之间做权衡。

建模的一些额外处理

假设 零备件在决策期内最多坏一次，也就是一个需求点最多产生1个需求。 离散库存变量连续化： 首先库存变量通常是整数，比如具体存储多少个零部件，但我在此模型中将库存量松弛成了连续变量。 离散转运/运输变量连续化： 传统的选址-库存联合优化模型，目标函数中通常隐含了运输成本，在建模的过程中通常转运变量是一个0-1整数变量，即表示 是否 由j仓库配送至第i个需求点。

新的建模视角 - 熵正则非平衡最优传输模型

Entropic Unbalanced Optimal Transport with Asymmetric Total Variation Marginals

其相比传统的两阶段随机规划的建模视角而言，增加了一个熵正则项。如上公式 十分契合熵正则非平衡最优传输的范式，如此可以利用sinkhorn相关算法快速求解。

现在建模思路中存在以下几点不自洽之处

  • 第二阶段模型是采用SAA的方法 事实上SAA方法潜在的蕴含了风险中性的含义。但由于我们的研究是立足于生存分析的故障概率预测，但为了刻画需求随机性 似乎 并不知道还有什么其他的方法可以用于该问题场景下。

  • 将转运变量松弛成一个连续变量 这个转运变量的物理意义是否还能够保证？因为零备件是不可拆分的。那么我们是否只能将其解释成概率？然后将这个概率作为多源供货策略？这种操作是否有相关的依据？

  • 熵正则是否能体现“柔性”供应链？ 因为在当前的模型中，在样本均值近似（Sample Average Approximation, SAA）框架下，通过熵正则化（Entropy Regularization）施加于转运变量 （或 ）以期望获得多源供货策略，却最终得到离散且不一致的场景解。而且关键在于无缘无故增加了一个熵正则项，破坏了原本的目标函数结构。

  • 是否能得到一个多源供货策略呢？ 因为当前的模型，似乎无法得到一个策略，得到的仅仅是各个场景解。

第一性原理分析上述建模思路

之所以我们要考虑柔性供应链、多源供货策略，本质上是因为真实世界中供应链是需要考虑时间因素的

因为 一个仓库的库存，可能覆盖了多个潜在需求点的风险。而这些需求点的风险发生是有时间先后顺序的，因此当潜在需求点之一确实出现需求后，其余需求点的供货关系就会发生改变，从而敦促我们在供应链设计中需要考虑柔性、多源供货等因素。 从第一性原理分析，先前的研究思路简化了“时间维度”，因此 在 两阶段随机规划的范式下，第二阶段子问题（也就是考虑供货分配决策的子问题）被简化为一个静态分配问题。那么在一个静态假设的前提下 去思考柔性供货策略，在第一性层面上没有对齐的。